通項公式方法總結

　　總結是指對某一階段的工作、學習或思想中的經(jīng)驗或情況進行分析研究，做出帶有規(guī)律性結論的書面材料，它能夠給人努力工作的動力，為此要我們寫一份總結。你想知道總結怎么寫嗎？以下是小編精心整理的通項公式方法總結，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

通項公式方法總結1

　　一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項公式。

　　例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項公式an。

　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。

　　二、已知數(shù)列的前n項和，用公式

　　S1 (n=1)

　　Sn-Sn-1 (n2)

　　例：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5

　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8選(B)

　　此類題在解時要注意考慮n=1的情況。

　　三、已知an與Sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出Sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。

　　例：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項公式。

　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-為首項，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，

　　再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，

　　- (n=1)

　　- (n2)

　　四、用累加、累積的方法求通項公式

　　對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。

　　例：設數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項公式

　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

　　又∵{an}是首項為1的正項數(shù)列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，

　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

　　五、用構造數(shù)列方法求通項公式

　　題目中若給出的是遞推關系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關系，這是近一、二年來的'高考熱點，因此既是重點也是難點。

　　例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

　　(1)求{an}通項公式(2)略

　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝(--1)(an--)

　　∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。

　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)，于是an=(--1)n-1(2--)+-

　　又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。

　　證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))

　　由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

　　所以數(shù)列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列。

　　若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉化到an的通項公式上來。

　　又例：設數(shù)列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略

　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

通項公式方法總結2

　　不過一般分小題、有梯度設問，往往是第1小題就是求數(shù)列的通項公式，難度適中，一般考生可突破，爭取分數(shù)，而且是做第2小題的基礎，因此，求數(shù)列通項公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結合教學實踐，談談求數(shù)列通項公式的解題思路。

　　一、已知數(shù)列的前幾項

　　已知數(shù)列的前幾項，求通項公式。通過觀察找規(guī)律，分析出數(shù)列的項與項數(shù)之間的關系，從而求出通項公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。

　　例1、求數(shù)列的通項公式

　�。�1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

　�。�2）9，99，999，……

　　分析：（1）0=12——1/2，每一項的分子是項數(shù)的平方減去1，分母是項數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實，該數(shù)列各項可化簡為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

　　（2）各項可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。

　　此題型主要通過讓學生觀察、試驗、歸納推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質，從而培養(yǎng)學生的思維能力。

　　二、已知數(shù)列的前n項和Sn

　　已知數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式an，主要通過an與Sn的關系轉化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）

　　例2、已知數(shù)列{an }的前n項和Sn=2n+3，求an

　　分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an

　　Sn——1＝a1+a2 +……+an——1

　　上兩式相減得 Sn -Sn——1=an

　　解：當n=1時，a1=S1=5

　　當n≥2時，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1

　　∵n=1不適合上式

　　∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）

　　三、已知an與Sn關系

　　已知數(shù)列的第n項an與前n項和Sn間的`關系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關系轉化為an與an——1的關系，再根據(jù)與的關系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。

　�。�1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通項公式。

　　例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。

　　分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項，8為公差的等差數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。

　�。�2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代公式可求通項公式。

　　例4、數(shù)列{an}的前n項和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）

　　求數(shù)列{an}的通項公式。

　　分析：根據(jù)an與Sn的關系，將an+1=2Sn+1轉化為an與an+1的關系。

　　解：由an+1=2Sn+1

　　得an=2Sn-1+1（n≥2）

　　兩式相減，得an+1-an=2an

　　∴an+1=3an （n≥2）

　　∵a2=2Sn+1=3

　　∴a2=3a1

　　∴{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列

　　∴an=3n-1

　�。�3）an+1=an+f（n），用疊加法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2=a1+f（1）

　　a3=a2+f（2）

　　a4=a3+f（3）

　　……

　　+）an=an——1+f（n-1）

　　an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）

　　例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n

　　則{an}的通項公式=（ ）

　　解：∵an+1=an+2n

　　∴a2 =a1+2×1

　　a3=a2+2×2

　　a4=a3+2×3

　　……

　　+）an=an——1+2（n-1）

　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

　　=2+2×（1+n-1）（n-1）

　　=n2-n+2

　　（4）an+1=f（n）an，用累積法

　　思路：令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3

　　……

　　×）an=f（n-1）an-1

　　an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）

　　例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（ ）

　　解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

　　a3=22a2 a4=23a3

　　……

　　×） an=2n——1·an——1

　　an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

　�。�5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）

　　an+1=an+p·qn（pq≠0），

　　an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

　�。╬、q、r為常數(shù)）

　　這些類型均可用構造法或迭代法。

　�、賏n=pan——1+q （p、q為常數(shù)）

　　構造法：將原數(shù)列的各項均加上一個常數(shù)，構成一個等比數(shù)列，然后，求出該等比數(shù)列的通項公式，再還原為所求數(shù)列的通項公式。

　　將關系式兩邊都加上x

　　得an+x=Pan——1+q+x

　　=P（an——1 + q+x/p）

　　令x=q+x/p，得x=q/p-1

　　∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）

　　∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項，P為公比的等比數(shù)列。

　　∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1

　　∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1

　　迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

　　=p2（（pan-3+q）+pq+q……

　　例7、數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an

　　解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）

　　兩式相減得an=2an-1+1

　　兩邊加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）

　　構造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}

　�、赼n=Pan-1+f（n）

　　例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）

　　證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

　　分析：這道題是證明題，最簡單的方法當然是數(shù)學歸納法，現(xiàn)用構造法和迭代法來證明。

　　方法一：構造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}

　　用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5

　　方法二：構造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。

　　方法三：迭代法。

　　an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

　　=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

　�、踑n+1=λan+p·qn（pq≠0）

　�。á。┊敠�=qn+1時，等式兩邊同除以，就可構造出一個等差數(shù)列{an/qn}。

　　例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

　　分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

　　∴{an/2n}是以a1/2=2為首項，1為公差的等差數(shù)列。

　�。áⅲ┊敠恕賟時，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。

　　例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

　　分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，

　　得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

　　令an/2n=bn

　　則bn=3/2bn-1+1/2

　　④an=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）

　　例11、已知an=1/a an——12，首項a1，求an。

　　方法一：將已知兩邊取對數(shù)

　　得lgan=2lgan——1-lga

　　令bn=lgan

　　得bn=2bn-1-lga，再構造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。

　　方法二：迭代法

　　an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2

　　=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23

　　=……=a·（a1/a）2n——1

　　⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）

　　將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構造成等比數(shù)列求an。

　　例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

　　解：∵an+1=an/an+2

　　∴1/an+1=2·1/an+1

　　兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

　　∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列

　　∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

　　∴an=1/2n-1

　　以上羅列出求數(shù)列通項公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對第三項中的5種類型題用構選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉化為第一種類型解決，即從an與Sn的關系式求出數(shù)列的前幾項，用觀察法求an。

【通項公式方法總結】相關文章：

初中物理公式總結08-10

物理公式高二總結03-17

初三物理公式總結03-10

初中數(shù)學公式總結03-09

初三物理公式總結08-02

初中物理公式知識總結03-09

（實用）初中物理公式總結07-06

高二物理公式總結02-09

高考數(shù)學公式總結10-04